En la función $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definida por $T(x,y)=\big((7a-4)x^2+b(x-2)^2-4b,\ a(8-y)^2+(4b+4)y^2-64a\big)$, ¿qué valores de $a$ y $b$ hacen que $T$ sea una transformación lineal?

Qué significa que $T$ sea lineal

Una transformación $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es lineal si cada componente es una combinación lineal de $x$ y $y$, es decir, no puede tener términos como $x^2$, $y^2$, ni constantes independientes.

Expandir la primera componente y eliminar $x^2$

Primera componente: $$T_1(x, y)=(7a-4)x^2+b(x-2)^2-4b.$$ Expandimos $(x-2)^2=x^2-4x+4$: $$T_1(x, y)=(7a-4)x^2+b(x^2-4x+4)-4b$$ $$=((7a-4)+b)x^2-4bx+(4b-4b)$$ $$=(7a+b-4)x^2-4bx.$$ Para que sea lineal, el coeficiente de $x^2$ debe ser $0$: $$7a+b-4=0.\tag{1}$$

Expandir la segunda componente y eliminar $y^2$

Segunda componente: $$T_2(x, y)=a(8-y)^2+(4b+4)y^2-64a.$$ Expandimos $(8-y)^2=64-16y+y^2$: $$T_2(x, y)=a(64-16y+y^2)+(4b+4)y^2-64a$$ $$=64a-16ay+ay^2+(4b+4)y^2-64a$$ $$=-16ay+(a+4b+4)y^2.$$ Para que sea lineal, el coeficiente de $y^2$ debe ser $0$: $$a+4b+4=0.\tag{2}$$

Resolver el sistema para $a$ y $b$

De (1): $$b=4-7a.$$ Sustituyendo en (2): $$a+4(4-7a)+4=0$$ $$a+16-28a+4=0$$ $$-27a+20=0 \Rightarrow a=\frac{20}{27}.$$ Luego: $$b=4-7\left(\frac{20}{27}\right)=\frac{108}{27}-\frac{140}{27}=-\frac{32}{27}.$$

Comprobación rápida

Con esos valores, $T_1(x, y)=-4bx$ queda lineal en $x$ y $T_2(x, y)=-16ay$ queda lineal en $y$, sin términos cuadráticos ni constantes.