En la transformación lineal \(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definida por \(T(x,y,z)=(2x+7y,\,7y+2z,\,2x-z)\), ¿cuál es el rango de \(T\)?

Qué significa hallar el rango aquí

El rango de una transformación lineal (T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3) es la dimensión de su imagen (cuántas direcciones independientes produce). Una forma rápida de hallarlo es construir su matriz y ver si es invertible.

Matriz asociada a (T)

De (T(x, y, z)=(2x+7y,,7y+2z,,2x-z)), la matriz en la base estándar es $$ A=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 0\\ 0 & 7 & 2\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Cálculo del determinante para decidir el rango

Calculamos (\det(A)) por la primera fila: $$ \det(A)=2\,\det\begin{pmatrix}7 & 2\\0 & -1\end{pmatrix}-7\,\det\begin{pmatrix}0 & 2\\2 & -1\end{pmatrix}+0 $$ $$ =2\,(7\cdot(-1)-0\cdot2)-7\,(0\cdot(-1)-2\cdot2) =2(-7)-7( -4)= -14+28=14 $$ Como (\det(A)=14\neq 0), la matriz es invertible, entonces sus columnas son linealmente independientes.

Conclusión sobre el rango

Si una matriz (3\times 3) es invertible, su rango es (3). Por tanto, $$\operatorname{rang}(T)=3.$$

Comprobación rápida (idea)

Determinante no nulo (\Rightarrow) transformación biyectiva (\Rightarrow) imagen igual a (\mathbb{R}^3) (\Rightarrow) rango (3).