Con utilità U(X,Y)=XY², reddito settimanale 360 euro e prezzi Px=6, Py=4, determina il paniere ottim

Answer

Con $U(X, Y)=XY^2$ (Cobb-Douglas con esponenti $1$ e $2$), il consumatore spende $1/3$ del reddito in $X$ e $2/3$ in $Y$. Con $I=360$, $P_x=6$, $P_y=4$ si ottiene $X^*=\frac{1}{3}\frac{360}{6}=20$ e $Y^*=\frac{2}{3}\frac{360}{4}=60$; con $P_x=10$ il nuovo paniere è $X_1^*=\frac{1}{3}\frac{360}{10}=12$ e $Y_1^*=60$. Usando la decomposizione di Slutsky, l’effetto sostituzione su $X$ è $\Delta X^S=14{,}67-20=-5{,}33$ e l’effetto reddito è $\Delta X^R=12-14{,}67=-2{,}67$ (totale $-8$); $X$ è un bene normale.

Explanation

Cosa bisogna fare in questo esercizio

Devi massimizzare l’utilità $U(X, Y)=XY^2$ sotto il vincolo di bilancio $P_xX+P_yY=I$. Poi ripeti dopo l’aumento di $P_x$ e infine separi la variazione totale di $X$ in effetto sostituzione ed effetto reddito (qui uso la decomposizione di Slutsky).

a) Paniere ottimo con $P_x=6$, $P_y=4$, $I=360$

Calcolo delle utilità marginali:

$MU_x=\partial U/\partial X=Y^2$
$MU_y=\partial U/\partial Y=2XY$

Il saggio marginale di sostituzione è: $$ MRS_{xy}=\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{Y^2}{2XY}=\frac{Y}{2X} $$ All’ottimo interno vale $MRS_{xy}=\frac{P_x}{P_y}$, quindi: $$ \frac{Y}{2X}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad Y=3X $$ Vincolo di bilancio: $$ 6X+4Y=360 $$ Sostituisco $Y=3X$: $$ 6X+4(3X)=6X+12X=18X=360 \Rightarrow X^*=20 $$ Quindi: $$ Y^*=3\cdot 20=60 $$

b) Nuovo paniere ottimo con $P_x=10$ (e $P_y=4$, $I=360$)

Condizione di tangenza: $$ \frac{Y}{2X}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad Y=5X $$ Vincolo: $$ 10X+4Y=360 $$ Sostituisco $Y=5X$: $$ 10X+4(5X)=10X+20X=30X=360 \Rightarrow X_1^*=12 $$ Poi: $$ Y_1^*=5\cdot 12=60 $$ Nota: in una Cobb-Douglas $XY^2$ la quota di spesa su $X$ resta $1/3$ del reddito, quindi quando cambia solo $P_x$ può capitare che $Y$ resti uguale (qui infatti resta $60$).

c) Effetto sostituzione ed effetto reddito (Slutsky) per il bene $X$

Variazione totale di $X$: $$ \Delta X = X_1^*-X^* = 12-20=-8 $$
Reddito compensato di Slutsky (quanto reddito serve, ai nuovi prezzi, per comprare il vecchio paniere): $$ I^c = P_x'X^* + P_yY^* = 10\cdot 20 + 4\cdot 60 = 200+240=440 $$
Paniere “compensato” scegliendo in modo ottimo con prezzi nuovi e reddito $I^c$. Per Cobb-Douglas con esponenti $(1,2)$: $$ X^c = \frac{1}{3}\frac{I^c}{P_x'}=\frac{1}{3}\frac{440}{10}=14{,}67 $$ $$ Y^c = \frac{2}{3}\frac{I^c}{P_y}=\frac{2}{3}\frac{440}{4}=73{,}33 $$
Decomposizione:

Effetto sostituzione: $$ \Delta X^S = X^c - X^* = 14{,}67-20=-5{,}33 $$
Effetto reddito: $$ \Delta X^R = X_1^* - X^c = 12-14{,}67=-2{,}67 $$ Controllo: $\Delta X^S+\Delta X^R=-5{,}33-2{,}67=-8$, torna.

d) Che tipo di bene è $X$?

L’effetto reddito qui è negativo quando il potere d’acquisto scende (aumento di prezzo), quindi la domanda di $X$ si muove nella direzione tipica di un bene normale. In generale, per una Cobb-Douglas con esponenti positivi, entrambi i beni sono beni normali.

Skills You Achive

consumer theory utility maximization cobb-douglas preferences slutsky decomposition income and substitution effects