Nel mercato del bene X la domanda è $P_D(Q)=20-\frac{Q}{5}$ e l’offerta è $P_S(Q)=2+\frac{Q}{10}$. Giovanni ha reddito $M=80$ €/settimana e compra $X$ e un bene composito $Y$ con $P_Y=1$, con utilità $U(X,Y)=(X-2)\cdot Y$. (1) Trova prezzo e quantità di equilibrio. (2) Con un’imposta specifica $\tau=3$ €/unità su $X$, determina $P_c$, $P_p$, quantità scambiata, gettito e incidenza tra consumatore e produttore. (3) Ricava $MU_X$, $MU_Y$, $MRS_{XY}$, vincolo di bilancio e condizione di ottimo, poi calcola $MU_X$, $MU_Y$ e $MRS$ nei panieri $A=(4,64)$, $B=(6,32)$, $C=(10,16)$, $D=(18,8)$ (tutti su $U=128$). (4) Trova il paniere ottimo pre-imposta (prezzo del punto 1) e descrivi il grafico dell’equilibrio. (5) Trova il paniere ottimo post-imposta (prezzo del punto 2), descrivi il nuovo equilibrio e la curva prezzo-consumo (PCC). (6) Ricava e traccia la domanda individuale $X(P_X)$, e verifica se $X$ è un bene di Giffen. (7) Scenario alternativo: niente imposta (prezzo resta quello iniziale) ma reddito scende a $M'=64$; trova il nuovo paniere ottimo, stabilisci se $X$ è normale o inferiore, e confronta l’utilità con lo scenario dell’imposta per dire quale Giovanni preferisce.

Answer

(1) Equilibrio di mercato: $Q^*=60$ e $P^*=8$. (2) Con $\tau=3$: $Q=50$, il consumatore paga $P_c=10$, il produttore riceve $P_p=7$, il gettito è $T=3\cdot 50=150$ e l’incidenza è 2 €/unità sul consumatore e 1 €/unità sul produttore (2/3 contro 1/3). (3) $MU_X=Y$, $MU_Y=X-2$, $MRS_{XY}=\frac{Y}{X-2}$; su $U=128$: in $A$ $MRS=32$, in $B$ $8$, in $C$ $2$, in $D$ $0{,}5$. (4) Scelta ottima pre-imposta con $P_X=8$: $(X, Y)=(6,32)$ e $U=128$; (5) post-imposta con $P_X=10$: $(X, Y)=(5,30)$ e $U=90$. (6) Domanda individuale: $X(P_X)=\frac{40}{P_X}+1$ (con $M=80$), decrescente quindi $X$ non è di Giffen; (7) con $M'=64$ e $P_X=8$: $(5,24)$, $U=72$, e $X$ è normale, Giovanni preferisce lo scenario con imposta perché $90>72$.

Explanation

Cosa stiamo facendo in questo esercizio

Ci sono due blocchi: (i) equilibrio di mercato e imposta specifica (incidenza e gettito), (ii) teoria del consumatore con l’utilità $U(X, Y)=(X-2)Y$, cioè calcolo di $MU$, $MRS$, ottimo e domanda individuale.

1) Equilibrio competitivo sul mercato di X

All’equilibrio $P_D(Q)=P_S(Q)$: $$20-\frac{Q}{5}=2+\frac{Q}{10}$$ Moltiplico per 10: $$200-2Q=20+Q \;\Rightarrow\; 180=3Q \;\Rightarrow\; Q^*=60$$ Prezzo: $$P^*=20-\frac{60}{5}=20-12=8$$

2) Imposta specifica $\tau=3$ sul bene X

Con imposta specifica, vale $P_c=P_p+\tau$.

Domanda (prezzo pagato dal consumatore): $$P_c=20-\frac{Q}{5}$$
Offerta (prezzo ricevuto dal produttore): $$P_p=2+\frac{Q}{10}$$ Imponiamo il “cuneo” fiscale: $$(20-\frac{Q}{5})-3=2+\frac{Q}{10}$$ Moltiplico per 10: $$170-2Q=20+Q \;\Rightarrow\; 150=3Q \;\Rightarrow\; Q^{tax}=50$$ Prezzi: $$P_c=20-\frac{50}{5}=10, \quad P_p=P_c-3=7$$ Gettito: $$T=\tau\cdot Q=3\cdot 50=150$$ Incidenza (confronto con $P^*=8$):
Consumatori: $\Delta P_c =10-8=2$ €/unità
Produttori: $\Delta P_p =8-7=1$ €/unità Quindi l’onere si ripartisce 2/3 ai consumatori e 1/3 ai produttori. In totale: consumatori $2\cdot 50=100$, produttori $1\cdot 50=50$.

3) $MU_X$, $MU_Y$, $MRS_{XY}$, vincolo e ottimo

Data $$U(X, Y)=(X-2)Y$$ utilità marginali: $$MU_X=\frac{\partial U}{\partial X}=Y, \qquad MU_Y=\frac{\partial U}{\partial Y}=X-2$$ Saggio marginale di sostituzione: $$MRS_{XY}=\frac{MU_X}{MU_Y}=\frac{Y}{X-2}$$ Vincolo di bilancio (con $P_Y=1$): $$P_X X + Y = M \quad \Rightarrow\quad Y=M-P_X X$$ Condizione di ottimo interno (tangenza): $$MRS_{XY}=\frac{P_X}{P_Y}=P_X \quad \Rightarrow\quad \frac{Y}{X-2}=P_X$$

Valori di $MU_X$, $MU_Y$, $MRS$ sui panieri con $U=128$

Ricorda: qui basta sostituire $(X, Y)$.

$A=(4,64)$: $MU_X=64$, $MU_Y=2$, $MRS=\frac{64}{2}=32$
$B=(6,32)$: $MU_X=32$, $MU_Y=4$, $MRS=\frac{32}{4}=8$
$C=(10,16)$: $MU_X=16$, $MU_Y=8$, $MRS=\frac{16}{8}=2$
$D=(18,8)$: $MU_X=8$, $MU_Y=16$, $MRS=\frac{8}{16}=0{,}5$

4) Paniere ottimo pre-imposta (con $P_X=8$, $M=80$)

Dalla tangenza $\frac{Y}{X-2}=P_X$ otteniamo $Y=P_X(X-2)$ e con il vincolo $Y=80-8X$: $$80-8X=8(X-2)=8X-16$$ $$96=16X \;\Rightarrow\; X^*=6, \quad Y^*=80-8\cdot 6=32$$ Utilità: $$U=(6-2)\cdot 32=128$$ Grafico (descrizione): retta di bilancio con intercetta $80$ su $Y$ e pendenza $-8$, tangente alla curva di indifferenza nel punto $(6,32)$.

5) Paniere ottimo post-imposta (con $P_X=P_c=10$, $M=80$) e PCC

Prezzo rilevante per Giovanni è il prezzo al consumo $P_c=10$. Vincolo: $Y=80-10X$. Tangenza: $Y=10(X-2)$. $$80-10X=10X-20 \;\Rightarrow\; 100=20X \;\Rightarrow\; X^*=5, \quad Y^*=30$$ Utilità: $$U=(5-2)\cdot 30=90$$ PCC: al variare di $P_X$ con $M$ fisso, i panieri ottimi si muovono lungo il luogo $$X^*(P_X)=\frac{M}{2P_X}+1, \qquad Y^*(P_X)=\frac{M}{2}-P_X$$ In particolare, per $P_X=8$ hai $(6,32)$ e per $P_X=10$ hai $(5,30)$.

6) Domanda individuale $X(P_X)$ e test di Giffen

Parto da tangenza e vincolo in forma generale (con $M=80$): $$M-P_X X=P_X(X-2)$$ $$M+2P_X=2P_X X \;\Rightarrow\; X(P_X)=\frac{M}{2P_X}+1$$ Con $M=80$: $$X(P_X)=\frac{40}{P_X}+1$$ Derivata: $$\frac{dX}{dP_X}=-\frac{40}{P_X^2}<0$$ Quindi la domanda è decrescente, il bene $X$ non è di Giffen.

7) Reddito più basso $M'=64$ (senza imposta, quindi $P_X=8$)

Ottimo con formula generale $X^*=\frac{M}{2P_X}+1$: $$X^*=\frac{64}{16}+1=4+1=5$$ $$Y^*=64-8\cdot 5=24$$ Utilità: $$U'=(5-2)\cdot 24=72$$ Normalità/inferiorità: a prezzo dato, $$\frac{\partial X^*}{\partial M}=\frac{1}{2P_X}>0$$ quindi $X$ è un bene normale.

Quale scenario preferisce Giovanni?

Scenario imposta ($P_X=10$, $M=80$): $U=90$
Scenario reddito più basso ($P_X=8$, $M'=64$): $U=72$ Giovanni preferisce l’imposta (pur peggiorativa rispetto all’iniziale), perché genera utilità più alta: $90>72$.

Skills You Achive

microeconomics market equilibrium tax incidence consumer theory utility maximization