Dans la figure 14.21 (tuyau horizontal avec étranglement), on a $A_2 = 100\ \text{cm}^2$, $A_1 = 10\ \text{cm}^2$ et une dénivellation de $50\ \text{cm}$ dans les manomètres avec de l’eau ($\rho = 1{,}0\ \text{g/cm}^3$). a) Quelle différence de pression cela indique-t-il? b) Quelle est la vitesse $v_2$? c) Quel est le débit $Q$? d) Quelle est la vitesse $v_1$ dans l’étranglement?

Ce que la figure 14.21 te fait mesurer

Les manomètres (piezomètres) donnent directement la pression statique via une hauteur d’eau. Dans un tuyau horizontal, la comparaison de deux hauteurs te donne donc une différence de pression $\Delta P$.

a) Convertir la dénivellation en différence de pression

Pour une colonne d’eau de hauteur $h$: $$\Delta P = \rho g h$$ Avec $\rho = 1{,}0\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3$, $h = 50\ \text{cm} = 0{,}50\ \text{m}$ et $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$: $$\Delta P = 1000\times 9{,}81\times 0{,}50 \approx 4905\ \text{Pa} \approx 4{,}9\ \text{kPa}$$

b) Relier pression et vitesses (Bernoulli)

Entre la section large (2) et l’étranglement (1), le tuyau est horizontal, donc Bernoulli donne: $$P_2 + \tfrac12\rho v_2^2 = P_1 + \tfrac12\rho v_1^2$$ Donc: $$\Delta P = P_2 - P_1 = \tfrac12\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right)$$

c) Utiliser la continuité pour lier $v_1$ et $v_2$

Le débit est le même partout: $$Q = A_1v_1 = A_2v_2$$ Avec $A_2 = 100\ \text{cm}^2$ et $A_1 = 10\ \text{cm}^2$: $$v_1 = \frac{A_2}{A_1}v_2 = 10v_2$$

d) Calcul numérique de $v_2$, puis de $Q$ et $v_1$

Remplace $v_1 = 10v_2$ dans $\Delta P$: $$\Delta P = \tfrac12\rho\left((10v_2)^2 - v_2^2\right)=\tfrac12\rho(99v_2^2)=49{,}5\rho v_2^2$$ Donc: $$v_2 = \sqrt{\frac{\Delta P}{49{,}5\rho}} = \sqrt{\frac{4905}{49{,}5\times 1000}}\approx 0{,}315\ \text{m/s}$$ Aires en SI: $A_2 = 100\ \text{cm}^2 = 0{,}01\ \text{m}^2$, $A_1 = 10\ \text{cm}^2 = 0{,}001\ \text{m}^2$.

Débit: $$Q = A_2v_2 = 0{,}01\times 0{,}315 \approx 3{,}15\times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$$ Et dans l’étranglement: $$v_1 = 10v_2 \approx 3{,}15\ \text{m/s}$$

Contrôle rapide (cohérence)

En utilisant l’autre section: $$Q = A_1v_1 = 0{,}001\times 3{,}15 \approx 3{,}15\times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$$ Même débit, donc les vitesses sont cohérentes.