حل المعادلة التربيعية $x^2+x+2=0$

ماذا نبحث عنه هنا؟

نريد حل معادلة تربيعية من الشكل $ax^2+bx+c=0$. أسرع طريقة عامة هي استخدام المميّز ثم قانون الحل.

حساب المميّز ومعنى إشارتِه

في المعادلة $x^2+x+2=0$ لدينا $a=1$ و $b=1$ و $c=2$.

المميّز هو: $$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7$$ بما أن $\Delta<0$ فهذا يعني أنه لا توجد جذور حقيقية، والجذور تكون مركبة (تحتوي على $i$).

تطبيق قانون حل المعادلة التربيعية

قانون الحل: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$ بالتعويض: $$x=\frac{-1\pm\sqrt{-7}}{2}$$ ونكتب $\sqrt{-7}=i\sqrt{7}$، فنحصل على: $$x=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}$$

تحقق سريع (فكرة)

إذا عوّضت بـ $x=\frac{-1+i\sqrt7}{2}$ في $x^2+x+2$ ستجد أن الجزء الحقيقي والخيالي يتلاشيان ويكون الناتج $0$، وكذلك للجذر الآخر (لأنه المرافق المركب).